У нас сгорел офис, а вместе с ним и многие бухгалтерские документы, в том числе платёжные об уплате налогов. Как назло, возникли трения с налоговой инспекцией по поводу уплаты налогов. Могут ли они в банке запросить копии платёжек?

Да, не только могут, но и имеют на это право. Налоговая инспекция обязана запросить в таком случае, как Ваш, платёжные документы у банка, которые могут подтвердить уплату Вами налогов и сборов в пользу государства. Об этом говорится в пункте 11 ст. 31 НК РФ. Для них эта процедура привычна.